Apunte

168 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Hooke dice que la fuerza F (t) que ejerce el resorte en el instante t es proporcional a su
estiramiento o compresión, es decir,
F (t) = −kx(t)
donde k > 0 es la constante de rigidez del resorte. Por otra parte, la ley de Newton nos
dice que
F (t) = ma(t)
siendo a(t) la aceleración en el instante t. En consecuencia, como a(t) = x ′′ (t), obtenemos
la ecuación
mx ′′ (t) + kx(t) = 0.
Esta es una ecuación lineal de segundo orden que, como tiene coeficientes constantes,
puede resolverse analíticamente. Si llamamos ω = k/m, la solución general de esta
ecuación es
x(t) = C1 cos(ωt) + C2 sen(ωt)
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Introduciendo A = C2 1 + C2 2 y ϕ ∈ [0, 2π) tal
que cos ϕ = C1/A y sen ϕ = C2/A (notar que tal ϕ existe porque (C1/A) 2 +(C2/A) 2 = 1),
la solución general puede escribirse como
A cos(ϕ − ωt)
donde A representa la amplitud, ω la frecuencia y ϕ la fase.
Para poder determinar la posición en el instante t necesitamos conocer ciertas condiciones
iniciales. Lo más natural es conocer la posición y la velocidad iniciales, es decir
x(0) = x0 y x ′ (0) = v0. Veamos que con estos datos podemos encontrar A y ϕ de tal
forma que la solución queda unívocamente determinada. En efecto, es fácil ver que de las
condiciones iniciales se deduce que A = x 2 0 + (v0/ω) 2 y ϕ ∈ [0, 2π) es el único ángulo
que satisface cos ϕ = x0/A y sen ϕ = v0/ωA.
3. Veamos ahora un ejemplo de ecuación no lineal. Para esto consideremos otro ejemplo
de los cursos básicos de física que es el problema del péndulo. En este caso se quiere
determinar el ángulo θ(t) que un péndulo con masa m forma respecto de la vertical en el
instante t. Despreciando el rozamiento con el aire podemos suponer que la única fuerza
que actúa es la de la gravedad, es decir, una fuerza en dirección vertical hacia abajo y
de magnitud mg. La proyección F de esta fuerza en la dirección del movimiento (o sea
tangencial al arco de circunferencia que describe el péndulo) resulta entonces,
F (t) = −mg sen θ(t).
Teniendo en cuenta que la longitud recorrida en un tiempo t es L(θ(t) − θ(0)), donde
L es la longitud del péndulo, resulta que la aceleración en la dirección tangencial al
movimiento es Lθ ′′ (t). Por lo tanto, aplicando nuevamente la ley de Newton obtenemos
Lθ ′′ (t) = −g sen θ(t)
o sea, una ecuación no lineal de segundo orden. También en este caso hay una única
solución si se conocen la posición y la velocidad inicial, o sea, θ(0) y Lθ ′ (0). Esto es
consecuencia del teorema de existencia y unicidad que enunciaremos más adelante.