Apunte

78 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
converge al único punto fijo de g y además,
xn+1 = g(xn)
1. |xn − r| ≤ λn |x0 − r|
2. |en| ≤ λn
1−λ |x1 − x0|. O sea, se tiene una acotación en términos de |x1 − x0| que es
conocido.
Demostración. Por el teorema anterior sabemos que existe un único punto fijo de g que llamamos
r. La hipótesis sobre la derivada de g implica que |g(x) − g(y)| ≤ λ|x − y|, o sea g es Lipschitz
con constante λ. Entonces
y de aquí, como λ < 1 se tiene que
En particular demostramos que xn → r.
|xn+1 − r| = |g(xn) − g(r)| ≤ λ|xn − r|
|xn − r| ≤ λ n |x0 − r| → 0.
Por otra parte, intercalando x1 y usando desigualdad triangular,
Entonces
y como
se obtine la estimación 2).
|x0 − r| ≤ |x0 − x1| + |x1 − r| ≤ |x0 − x1| + λ|x0 − r|.
(1 − λ)|x0 − r| ≤ |x1 − x0|
|xn − r| ≤ λ n |x0 − r|
La figura 4.5 muestra gráficamente como se genera una sucesión por el método de punto fijo. En
dicho gráfico 0 < f ′ (x) < 1.
Para aplicar el teorema 4.15 hay que garantizar que g(I) ⊂ I (o sea primero hay que encontrar
un tal I).
Si r es un punto fijo de g con |g ′ (r)| < 1 este intervalo I existe, resultado que probamos en el
siguiente teorema.
Teorema 4.16. g ′ continua en (a, b), r ∈ (a, b) un punto fijo de g. Si |g ′ (r)| < 1, entonces existe
ε > 0 tal que la iteración es convergente siempre que x0 ∈ Iε = (r − ε, r + ε).