Apunte

3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 75
a tener en cuenta cuando se aplica el método de Newton. La sucesión que produce este método
es:
Entonces
xn+1 = xn − x3 n
3x 2 n
|en+1| = 2
3 |en|
= 2
3 xn
En este caso, observamos que la convergencia es lineal y no es cuadrática. Lo que sucede es que
no se verifica la hipótesis de que r sea una raíz simple (f ′ (r) = 0 en este caso).
Ejemplo 4.11. Este es un ejemplo donde el método de Newton-Raphson no converge. En este
caso, la hipótesis que no se cumple es la derivabilidad de f. Consideremos la función
con r = 0.
⎧ √
⎨ x x ≥ 0
f(x) =
⎩
− √ −x x < 0,
Un cálculo sencillo permite ver que f no es derivable en la raíz. En cualquier otro valor se tiene
Es decir,
f ′ ⎧
⎨
(x) =
⎩
f ′ (x) = 1
2
La sueción que produce el método se escribe como
xn+1 = xn −
1
1
2x− 2 x > 0
1
1
2 (−x)− 2 x < 0.
x 1
2
n
1
1 2
2x−n |x|− 1
2 .
= xn − 2xn = −xn.
Ahora, salvo que comencemos en la raíz (con lo cual no necesitaríamos de un método para
hallarla) se tiene que xn es positivo o negativo.
Supongamos que xn > 0, entonces xn+1 = −xn < 0 y xn+2 = −xn+1 > 0.
Si seguimos el proceso que genera xn desde un x0 inicial vemos que la sucesión es:
x0 → −x0 → x0 → −x0 → . . .