Apunte

y por lo tanto,
π
2
− π
2
Iterando este procedimiento obtenemos
π
2
− π
2
lo que concluye la demostración.
4. CUADRATURA GAUSSIANA 159
cos 2k+1 ydy = 2k
π
2
2k + 1 − π
cos
2
2k−1 ydy.
cos 2k+1 ydy = (2kk!) 2 π
2
(2k + 1)! − π
cos ydy =
2
22k+1 (k!) 2
(2k + 1)!
Teorema 7.31. (Error para Cuadratura Gauss/Legendre) Si f ∈ C n+2 [a, b] y se aproxima
b
a
f(x)dx usando la regla de cuadratura gaussiana tomando como nodos los ceros del polinomio
de grado n + 1 de la familia de Legendre, el error que se produce está dado por
R(f) = f 2n+2 ((n + 1)!)
(η)
4
((2n + 2)!) 3 (2n + 3) (b − a)2n+3 , para algún η ∈ (a, b). (7.14)
Demostración. Poniendo k = n + 1 obtenemos la fórmula del error en el intervalo [−1, 1],
I(f) − Qn(f) = f 2n+2 (η) 22n+3 ((n + 1)!) 4
((2n + 2)!) 3 (2n + 3)
y haciendo un cambio de variables resulta que la fórmula en un intervalo [a, b] es
I(f) − Qn(f) = f 2n+2 ((n + 1)!)
(η)
4
((2n + 2)!) 3 (b − a)2n+3
(2n + 3)
Observación 7.32. Las fórmulas correspondientes a las reglas de uno y dos puntos resultan ser:
Para n = 0 (regla del punto medio) se tiene
Para n = 1 queda,
I(f) − Q0(f) = f ′′ (η) 1
24 (b − a)3 .
I(f) − Q1(f) = f iv (η) 1
4320 (b − a)5 .
Notar que las constantes obtenidas para n = 0 y n = 1 son menores que las que se obtienen en los
Teoremas 7.13 y 7.15, que corresponden a reglas del mismo grado de exactitud, respectivamente.