Apunte

o sea
2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO 21
∆x 2 2
x 2 2
=
n
i=1 β2 i
n
i=1 α2 i
∆x2
x2
es decir que el número Cond2(A) = |λmáx|
|λmín|
≤
1/|λmín| 2
1/|λmáx| 2
∆b2 2
b2 2
≤ |λmáx| ∆b2
|λmín| b2
es una cota para el factor de amplificación del error
relativo. Más aún, esta cota es la mejor posible pues la desigualdad se convierte en una igualdad
para cierta elección de b y ∆b (b en la dirección correspondiente al máximo autovalor y ∆b en
la correspondiente al mínimo).
Para generalizar el número de condición a cualquier matriz observemos que, en el caso de una
simétrica, la dirección correspondiente al autovalor de máximo valor absoluto nos da la dirección
de “máxima expansión”, es decir, si miramos el cociente entre la longitud de Ax y la de x
Ax2
x2
éste será máximo entre todos los x cuando x está en la dirección correspondiente a λmáx. En
efecto, si escribimos x en la base de autovectores {v1, . . . , vn}
entonces,
y de acá resulta que
x =
Ax =
n
i=1
n
i=1
αivi
αiλivi
Ax2 ≤ |λmáx|x2
y tomando x = vj con λj = λmáx se ve que se verifica la igualdad.
Análogamente, la dirección de “mínima expansión” corresponde a la asociada a λmín, la cual
corresponde también a la de “máxima expansión” de la inversa de A.
El análisis realizado para matrices simétricas nos muestra que el factor de amplificación del error
relativo está relacionado con los máximos factores de expansión de A y de su inversa. Teniendo
en cuenta esto, definimos para una matriz arbitraria A ∈ IR n×n y una norma de vectores
cualquiera, la norma matricial asociada como