Apunte

140 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Luego, 1
−1
2
p(x) dx = 3 3a0 + a2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(a+h, f(a+h))
(a+2h, f(a+2h))
(a+3h, f(a+3h))
0
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figura 7.4. Regla de Simpson abierta
= 2
3
1 2f(− 2 ) − f(0) + 2f(1 2 ) . Al pasar a un intervalo [a, b] por
medio del Lema 7.3 y escribiendo la fórmula en términos del paso h = b−a
4 obtenemos,
b
a
f(x) dx ∼ 4h
2f(a + h) − f(a + 2h) + 2f(a + 3h) .
3
Ejemplo 7.5. Consideremos nuevamente la función f(x) = x 3 − 4x + 4 en el intervalo [−1, 2].
Queremos hallar una aproximación de la integral de f en dicho intervalo por medio de la regla
de Simpson abierta.
Como h = b−a
4
2
−1
= 3
4
, entonces a + h = − 1
4
x 3 − 4x + 4 dx ∼ 1 2f(− 1
4
que vuelve a ser un cálculo exacto.
, a + 2h = 1
2
5
, a + 3h = 4 , así tenemos
) − f(1 ) + 2f(5
2 4 ) = 2 319 17
−
64 8
624 39
+ 261 = =
64 64 4 ,
Es claro que la fórmula de Simpson es exacta para polinomios de P2 y que la fórmula de
Trapecios lo es para polinomios de P1. En general, una regla como la dada en (7.1), construida
interpolando en n + 1 puntos, es exacta para polinomios de Pn, sin embargo, veremos que para
ciertas elecciones de puntos la regla resulta exacta también para polinomios de Pk para algún
k > n. Por otra parte, veremos luego que el grado de polinomios para el cual una regla es exacta
se relaciona con el error cometido al usar dicha regla. Esto motiva la siguiente definición.