Apunte

Definimos los polinomios de Bernstein,
Bnf(x) =
1. PRELIMINARES 115
n
k=0
n
f
k
k
x
n
k (1 − x) n−k
y vamos a demostrar que Bnf converge uniformemente a f en el intervalo [0, 1]. Para eso necesitaremos
calcular Bnhj para hj(x) = x j , j = 0, 1, 2.
Usando la fórmula del binomio de Newton, se tiene:
n
n
Bnh0(x) = x
k
k=0
k (1 − x) n−k = (x + 1 − x) n = 1.
n
n k
Bnh1(x) =
k n
k=0
xk (1 − x) n−k n
n − 1
=
x
k − 1
k=1
k (1 − x) n−k
n
n − 1
= x
x
k − 1
k=1
k−1 (1 − x) n−k = x(x + 1 − x) n−1 = x.
n
2 n k
Bnh2(x) =
x
k n
k=0
k (1 − x) n−k n
n − 1 k
=
k − 1 n
k=0
xk (1 − x) n−k
n
n − 1 n − 1 k − 1 1
=
+ x
k − 1 n n − 1 n
k=0
k (1 − x) n−k
= n − 1
n
n − 2
k − 2
= n − 1
n x2
k=2
x k−2 (1 − x) n−k + x
n
n x2 (x + 1 − x) n−2 + x
n = x2 +
x(1 − x)
.
n
Dado y ∈ IR consideremos la función gy(x) = (x − y) 2 . Desarrollando (x − y) 2 = x 2 − 2xy + y 2
y usando que Bn es lineal (o sea, Bn(f1 + f2) = Bnf1 + Bnf2 y Bn(kf) = kBnf) se obtiene
Bngy(x) = gy(x) +
x(1 − x)
. (6.1)
n
Por otra parte, como toda función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua,
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que,
|f(x) − f(y)| ≤ ε si |x − y| < δ.
Además, para los x, y tales que |x − y| ≥ δ se tiene