Apunte

Capítulo 5
Interpolación
El objetivo de este capítulo es estudiar cómo puede aproximarse una función por polinomios.
Una forma de hacer esto es construir los polinomios de manera que coincidan con la función
dada en algunos puntos predeterminados, lo que recibe el nombre de interpolación polinomial.
Analizaremos distintos métodos para resolver este problema y estudiaremos el error que se
comete al reemplazar una función por un polinomio interpolante.
Hay diversos motivos para estudiar este problema. Por un lado, el polinomio interpolante puede
utilizarse para reconstruir una función f a partir de una tabla de valores. Por otra parte, es
una herramienta fundamental para integración y diferenciación numérica, como veremos más
adelante.
1. Interpolación de Lagrange
En lo que sigue, si n ∈ IN0, llamaremos Pn al conjunto de polinomios de grado menor o igual
que n, incluyendo el polinomio nulo.
Supongamos que se sabe que la tabla de valores
(xj): x0 x1 x2 . . . xn
(yj): y0 y1 y2 . . . yn
corresponde con datos de una función continua que se desconoce. Queremos poder modelizar
dicha función por medio de un polinomio. Es decir, queremos encontrar un polinomio tal que
p(xj) = yj, ∀j = 0, 1, . . . , n. (5.1)
Nuestro primer paso será dar un resultado básico que establece que esto es posible. Mostraremos
una forma concreta de hallar un polinomio p que verifique (5.1) y además veremos que si el
polinomio es de grado menor o igual que n, éste es único. Vamos a basar nuestra demostración
en la Base de Lagrange que es una base de polinomios que construimos a continuación.
Base de Lagrange: Para cada punto xj, j = 0, . . . , n, buscamos un polinomio de grado n que
se anule en todos los xi salvo xj donde queremos que valga 1. Por ejemplo, ℓ0 será un polinomio
en Pn tal que se anula en x1, . . . , xn y ℓ0(x0) = 1.