Apunte

2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO 23
Definición 2.2. Sea A ∈ IR n×n una matriz inversible y sea una norma en IR n definimos el
número de condición de A como
Cond(A) = AA −1
Es claro que Cond(A) depende de la norma de vectores elegida.
Es fácil ver que valen las siguientes propiedades,
y
Cond(A) = Cond(A −1 )
Cond(A) ≥ 1 ∀A ∈ IR n×n
En efecto, la primera es obvia mientras que, para ver la segunda, utilizamos la propiedad (2.4)
y obtenemos
1 = I = AA −1 ≤ AA −1 = Cond(A)
Podemos ahora probar el siguiente resultado fundamental
Teorema 2.3. Si A ∈ IR n×n es inversible, b, ∆b ∈ IR n , Ax = b y A(x + ∆x) = b + ∆b entonces,
∆x
x
≤ Cond(A)∆b
b
valiendo la igualdad para alguna elección de b y ∆b.
Además,
1 ∆b ∆x
≤
Cond(A) b x
y nuevamente, vale la igualdad para ciertos b y ∆b.
Demostración. Se tiene que
y entonces,
∆x
x ≤ A−1∆b x
A(∆x) = ∆b
= A−1 ∆b
b
b
x ≤ A−1∆b A
b
donde para la última desigualdad hemos usado que b = Ax ≤ Ax. Por lo tanto (2.5)
vale.
(2.5)
(2.6)