Apunte

126 6. POLINOMIOS ORTOGONALES Y APROXIMACIÓN POR CUADRADOS MÍNIMOS
y, definiendo hk(x) = x k , para k = 1, . . . , n,
q0(x) = 1, p0(x) = 1/q0.
k−1
qk(x) = hk(x) − 〈hk, pi〉pi(x), y pk(x) = qk(x)/qk.
i=1
Observemos que, como este procedimiento puede hacerse para cualquier n ∈ IN lo que se obtiene
es una sucesión de polinomios ortogonales q0, q1, . . . , qn, . . . cuyas propiedades básicas resumimos
en el siguiente teorema.
Teorema 6.16. Dado el espacio V = C[a, b] con un producto interno, los polinomios ortogonales
q0, q1, . . . , qn, . . . obtenidos mediante el proceso de Gram-Schmidt aplicado a la base canónica
dada por las potencias satisfacen las siguientes propiedades. Para todo k ∈ IN0,
1. qk es un polinomio mónico de grado k.
2. {q0, q1, . . . , qk} es una base ortogonal de Pk.
3. qk es ortogonal a todo polinomio de grado menor que k.
Las conclusiones del teorema son válidas si se considera la base canónica de Pk: B = {1, x, x 2 , . . . , x k }.
El orden en que se toman los elementos es importante. La demostración se sigue de todo lo anterior
y por tanto la omitimos.
En lo que sigue consideramos fijado el producto interno y usamos la notación pk para indicar la
sucesión de polinomios ortonormales asociados a dicho producto, es decir pk = qk/qk. Una vez
obtenidos estos polinomios podemos encontrar la mejor aproximación a una función continua
utilizando la teoría general que hemos visto. En efecto, tenemos
Teorema 6.17. Si f ∈ C[a, b] entonces el polinomio p ∗ n ∈ Pn que satisface
f − p ∗ n ≤ f − p, ∀p ∈ Pn,
está dado por p ∗ n = P f, donde P : C[a, b] −→ Pn es la proyección ortogonal, o sea,
Demostración. Se sigue del Teorema 6.4.
p ∗ n =
n
〈f, pi〉pi,
i=0
Observemos que esto resuelve simultáneamente los problemas A y B. Para resolver cualquiera
de los dos hay que, primero generar los polinomios ortonormales pj y luego calcular 〈f, pi〉. En
el caso continuo (problema B) aplicamos la teoría trabajando en el espacio de dimensión infinita
C[a, b] mientras que en el caso discreto (problema A) trabajamos en el espacio de dimensión finita
IR n+1 identificando a los valores de una función continua f con el vector (f(x0), . . . , f(xn)). De
esta forma se tiene un procedimiento alternativo al dado en el Teorema 6.10 para el problema
discreto. En algunos casos el método basado en el uso de los polinomios ortogonales resulta
mejor respecto de la propagación de errores de redondeo.