Apunte

142 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
La forma más usual de aproximar integrales es mediante las llamadas reglas de integración
compuestas que veremos más adelante, las cuales se basan en partir el intervalo [a, b] en intervalos
chicos y aplicar en cada uno de ellos alguna de las reglas construídas mediante interpolación.
Por esta razón nos interesa saber como es el error en términos de la longitud del intervalo donde
se aplica la regla. El siguiente teorema nos da un resultado general que nos dice que el error
depende del grado de exactitud de la regla.
Teorema 7.10. Dada una regla de cuadratura Q(f) en el intervalo [a, b] tal que
i) Q(f) es lineal,
ii) Q(f) tiene grado de exactitud k,
iii) |Q(f)| ≤ M(b − a)f∞, para alguna constante M.
Entonces, si f ∈ C k+1 [a, b], se tiene
|R(f)| = |I(f) − Q(f)| ≤
(1 + M)(b − a)k+2
f
(k + 1)!
k+1 ∞
Demostración. Observemos que, como f ∈ C k+1 [a, b], existe un polinomio pk ∈ Pk tal que
f − pk∞ ≤
(b − a)k+1
(k + 1)! f k+1 ∞.
En efecto, podemos tomar por ejemplo el polinomio dado por el desarrollo de Taylor de f en
cualquier punto del intervalo.
Entonces, como la regla tiene exactitud k, tenemos que I(pk) = Q(pk). Luego, usando la linealidad
de Q(f),
R(f) = I(f) − Q(f) = I(f − pk) − Q(f − pk).
Por lo tanto, usando la hipótesis iii) y que |I(f − pk)| ≤ (b − a)f − pk∞, obtenemos
concluyendo la demostración.
|R(f)| ≤ |I(f − pk)| + |Q(f − pk)| ≤
(1 + M)(b − a)k+2
f
(k + 1)!
k+1 ∞,
Observación 7.11. Si la regla está dada como en (7.1) con Aj > 0 para todo j = 0, . . . , n, y
tiene grado de exactitud al menos 0, entonces la hipótesis iii) del teorema se cumple con M = 1.
En efecto, como la regla es exacta para constantes se tiene que n j=0 Aj = Q(1) = I(1) = (b−a)
y por lo tanto,
n
n
|Q(f)| = | Ajf(xj)| ≤ Aj|f(xj)| ≤ (b − a)f∞.
j=0
j=0