Apunte

3. MÉTODOS MULTIPASO LINEALES 185
3. Métodos multipaso lineales
Hasta ahora para aproximar las soluciones de x ′ (t) = f(t, x(t)) nos basamos en el punto inmediato
anterior para calcular el siguiente, es decir, empezando en x0 las iteraciones de un paso son
de la forma
xn+1 = xn + hΦ(tn, xn, h).
La filosofía de los métodos multipaso es usar la información obtenida hasta el momento (varias
aproximaciones anteriores a la que se quiere calcular). Es decir, se quiere aproximar x en el paso
(n + 1)-ésimo, x(tn+1), utilizando algunos de los valores ya calculados como xn, xn−1, xn−2, . . .
Si se considera un registro de k datos anteriores el método tiene la forma:
k−1
αkxn+k = − αjxn+j + h
Un método como en (8.21) se conoce como método multipaso de k pasos.
j=0
Por ejemplo, si aproximamos la derivada por
x ′ (t) ∼
considerando puntos equiespaciados nos queda
y como
podemos poner
es decir
k
j=0
x(t + h) − x(t − h)
2h
x ′ (tn) ∼ xn+1 − xn−1
2h
x ′ (tn) = f(tn, x(tn)) ∼ f(tn, xn)
xn+1 − xn−1
2h
= f(tn, xn)
xn+1 = xn−1 + 2hf(tn, xn).
βjf(tn+j, xn+j) (8.21)
Éste, resulta ser un método de dos pasos puesto que para calcular xn+1 se usan xn y xn−1.