Apunte

106 5. INTERPOLACI ÓN
En consecuencia, hemos demostrado que el único polinomio en P3 que satisface las condiciones
pedidas es
p3(x) = f[x0] + f[x0, x0](x − x0) + f[x0, x0, x1](x − x0) 2 + f[x0, x0, x1, x1](x − x0) 2 (x − x1).
Esto generaliza la forma de Newton para xi no todos distintos.
6. Interpolación por polinomios a trozos
En muchos casos para lograr una mejor aproximación es conveniente utilizar funciones polinomiales
a trozos como interpolantes. De esta manera se parte el intervalo de manera tal que en cada
subintervalo se elige un polinomio distinto que interpola los datos. Por ejemplo, al interpolar
con polinomios de grado uno a trozos, quedan poligonales.
x 0
p 1
| | | | | | |
x 1
p 2
f(x)
x 2
p 3
Aproximación por poligonales
x 3
p 4
x 4
p 5
x 5
p 6
x 6
Figura 5.2
Partimos el intervalo [a, b] en subintervalos [xj, xj+1], a = x0 < x1 < x2 . . . < xn = b. Dada
f : [a, b] → IR definimos la función interpolante qn(x) tal que
qn | [xj,xj+1]∈ P1.
Consideremos el caso de puntos equiespaciados o sea, xj = a + jh con h = b−a
n . Para cualquier
f ∈ C2 [a, b] y cualquier x ∈ [xj, xj+1], usando el Teorema 5.4 tenemos
Entonces
f(x) − qn(x) = f ′′ (ξj)
(x − xj)(x − xj+1).
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