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4 Índice general 4. Cuadratura Gaussiana 152 5. Convergencia de los métodos de cuadratura 160 6. Ejercicios 163 Capítulo 8. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias 167 1. Métodos de un paso 169 2. Análisis del error y convergencia 177 3. Métodos multipaso lineales 185 4. Ejercicios 194
Capítulo 1 Punto flotante y redondeo El objeto de este capítulo es analizar la representación de los números en una computadora y la propagación de los errores de redondeo al realizar cálculos. Como la cantidad de información que puede guardarse en una computadora es finita, la máquina trabajará sólo con un conjunto finito de números. A estos los llamaremos números de máquina. En consecuencia, toda vez que de nuestros datos o cálculos surja un número que no pertenece a este conjunto finito, éste deberá ser reemplazado por una aproximación (el número de máquina más cercano). Este reemplazo da lugar a lo que llamamos errores de redondeo. Al realizar cálculos estos errores de redondeo se propagan y esto puede llevar a resultados totalmente incorrectos como veremos en algunos ejemplos simples. En las aplicaciones del cálculo numérico es prácticamente imposible determinar exactamente la magnitud de los errores de redondeo. Lo que si puede hacerse, y es de fundamental importancia, es identificar las posibles causas de que los errores se propaguen más de lo admisible. Esto permite mejorar los algoritmos o determinar que método es más conveniente para resolver un problema. Un claro ejemplo de esto, que veremos más adelante, aparece cuando se utiliza el método de eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En este caso, el análisis de la propagación de errores permite determinar la forma más eficiente de aplicar el método. Por otra parte, es fundamental distinguir cuando la propagación excesiva de errores se debe a que el algoritmo utilizado es “malo” o inestable o a que el problema en sí mismo está “mal condicionado”. En el primer caso se puede (se debe!) tratar de mejorar el método de resolución mientras que en el segundo caso el problema es más esencial. Los ejemplos que presentaremos ilustrarán estos dos casos. 1. Punto flotante En lo que sigue supondremos que los números de máquina son los que aparecen en la pantalla. Esto no es exacto pues en realidad la computadora opera internamente con los números desarrollados en base 2 y no en base 10. Este abuso de lenguaje es sólo para mayor claridad (el lector podrá observar que todo nuestro análisis puede repetirse trabajando en base 2). Observemos primero que un número real cualquiera, x ∈ IR, x > 0, puede escribirse como
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Capítulo 6 Polinomios ortogonales
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