Apunte

102 5. INTERPOLACI ÓN
Observemos que tanto el error como su estimación se reducen aproximadamente la mitad que
en el caso de puntos equiespaciados.
Observación 5.15. Una traslación lineal del intervalo [a, b] al intervalo [−1, 1] nos permite dar
los polinomios de Tchebychev correspondientes al intervalo [a, b].
En efecto, es fácil ver que el cambio de variables t =
cionada. Por lo tanto
Tk(x) = Tk(t) = Tk
2(x − a)
b − a
2(x − a)
b − a
− 1 es la transformación men-
− 1 = cos k cos −1
2(x − a)
− 1
b − a
es un polinomio de grado k que tiene propiedades análogas a Tk pero ahora en el intervalo [a, b].
En particular se tiene:
1. La relación de recurrencia:
Tk+1(x)
2(x − a)
= 2
b − a
2. El coeficiente principal de Tk(x) es 2 k−1 ( 2
b−a )k .
3. Los ceros de Tk(x) son de la forma
b − a (2j + 1)π
xj = cos
+
2 2k
b + a
2
4. Interpolando en los ceros de Tn+1
Wn+1(x) = 1
2 n
b − a
2
n+1
obteniéndose, para x ∈ [a, b], la cota del error
− 1 Tk(x) − Tk−1(x)
∀j = 0, . . . , k − 1.
Tn+1(x) y Wn+1∞ = 1
2 n
|f(x) − pn(x)| ≤ f (n+1) ∞
(n + 1)!2 n
b − a
2
n+1
.
b − a
2
n+1
Antes de proceder con algunos comentarios finales estudiemos el análogo al Ejemplo 5.5 considerando
como nodos los ceros del correspondiente polinomio de Tchebychev.
Ejemplo 5.16. Se quiere aproximar la función f(x) = cos(x) 3 en el intervalo [−3, 3] por un
polinomio que la interpola en los ceros de T10.
Al elegirse como nodos los ceros de T10 se obtiene un polinomio como muestra la Figura 5.5
(comparar con Figura 5.2). En este caso el error numérico cometido es menor que 4 × 10 −3 .
Comparar con Ejemplo 5.5 en el que se interpola la misma función en 10 puntos equiespaciados.