Apunte

74 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
de la igualdad (4.2) se deduce que el método, en general, converge cuadráticamente. Esto es, en
cada paso el error se reduce cuadráticamente (o sea es menor o igual que el cuadrado del error
del paso anterior).
Esta es la gran ventaja del método de Newton. El número de cifras correctas se duplica (esencialmente)
en un paso.
Este resultado de convergencia es “local”, o sea, el teorema garantiza la convergencia si se
empieza “suficientemente cerca” de r. En la práctica es un tema difícil determinar lo que es
“suficientemente cerca”. Muchas veces, se combinan unos pasos del método de bisección para
encontrar un intervalo en el que se aplique el Teorema 4.5. Sin embargo, el método de Newton
funciona en forma excelente (incluso en N variables) y es de los más usados.
Ejemplo 4.9. Calculemos, aplicando el método de Newton una aproximación de √ 2. Comparemos
el resultado con el que se obtuvo al aplicar el método de bisección. Como antes la función
es f(x) = x 2 − 2 y elegimos x0 = 3. Tenemos
Y aplicando esto obtenemos
Observemos que
xn+1 = xn − f(xn)
f ′ (xn) = xn − x2n − 2
=
2xn
xn 1
+
2 xn
x0 = 3 x3 = 1,41499843 . . .
x1 = 1,833 . . . x4 = 1,41421378 . . .
x2 = 1,4621212 . . . x5 = 1,414213562 . . .
√ 2 = 1,414213562 . . .
Es decir, con cinco pasos del método tenemos más de diez cifras exactas, mientras que con
bisección en ocho pasos teníamos cuatro cifras exactas.
Comentario. Hacia el año 2000 a.C. los Babilonios usaban el siguiente método para “calcular”
el número √ p si p ∈ IN. Si a > √ p se tiene que p
a < √ p. Luego √ p es un número entre p
y a.
a
Entonces, consideraban el promedio 1 p
(a + ) como primera aproximación, así sucesivamente.
2 a
Esto coincide con el método de Newton, de 1669 d.C., aplicado a la función x2 − p. Comparar
con (4.4).
Ejemplo 4.10. Como segundo ejemplo veamos qué sucede con f(x) = x 3 , r = 0. Es claro que
la única raíz es r = 0. Lo que se pretende con este ejemplo es mostrar alguna de las dificultades
(4.4)