Apunte

138 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Lema 7.3. Si Q0(f) =
1
−1
n
Ajf(tj) es una fórmula de cuadratura para aproximar la integral
j=0
f(x) dx entonces, para
(b − a) (a + b)
xj = tj + , ∀j = 0, . . . , n;
2 2
se tiene una fórmula de cuadratura para el intervalo [a, b]:
b
a
f(x) dx ∼ Q(f) =
n
j=0
(b − a)
2 Ajf(xj). (7.4)
Demostración. Consideremos el cambio de variables x = αt+β, con α = (b−a)/2 y β = (a+b)/2
que transforma el intervalo [−1, 1] en [a, b]. Así,
b
a
f(x) dx =
1
−1
f(αt + β) α dt.
Aplicando la fórmula Q0 a la función g(t) = αf(αt + β) para el intervalo [−1, 1] tenemos,
con,
b
a
f(x) dx =
Q0(g) =
1
−1
f(αt + β) α dt ∼ Q0(g) (7.5)
n
Ajg(tj) =
j=0
n
αAjf(αtj + β).
j=0
Si llamamos xj = αtj + β, para j = 0, . . . , n, tenemos que
xj =
(b − a) (a + b)
tj +
2 2
∀j = 0, . . . , n.
Luego, podemos re-escribir la aproximación en [a, b] dada en (7.5) como en la fórmula (7.4).
Ahora sí, procedemos a dar la fórmula de Simpson, que aproxima a 1
−1 f(x) dx, usando el
polinomio interpolador p en los nodos equiespaciados {−1, 0, 1}. Si p(x) = a0 + a1x + a2x2 ,
1
−1
p(x) dx = 2 a0 + a2
3
2
= 6a0 + 2a2 .
6