Apunte

3. MÉTODOS MULTIPASO LINEALES 189
Vamos a ver que para los métodos multipaso no es suficiente pedir que τ tienda a cero para que
el método sea convergente. En este caso serán dos las condiciones (consistencia y estabilidad)
que aseguren la convergencia de xn+k a la solución exacta.
Definición 8.18. Se dice que un método multipaso es consistente si el error de truncamiento
local, τ, tiende a cero.
En forma análoga a la Definición 8.7 de orden para los métodos de un paso, se tiene que un
método multipaso es de orden p si τ = O(h p ).
En lo que sigue, estudiaremos un algoritmo que nos permite establecer el orden de un método
multipaso. Para esto, necesitamos asumir que x, la solución de la ecuación diferencial x ′ = f(t, x)
admite p + 1 derivadas continuas. En tal caso, de la expresión (8.24) se puede escribir hτ en
términos de las derivadas de x como sigue
hτ = C0x(t) + C1hx ′ (t) + C2h 2 x ′′ (t) + · · · + Cph p x (p) (t) + O(h p+1 ). (8.25)
En efecto, consideremos el desarrollo de Taylor para x y x ′ ,
x(t + jh) = x(t) + x ′ (t)jh + x′′ (t)
2 (jh) 2 + · · ·
x ′ (t + jh) = x ′ (t) + x ′′ (t)jh + x′′′ (t)
2 (jh) 2 + · · ·
Ahora, reemplazamos en la expresión (8.24) y agrupamos las potencias de h. De esta forma, se
obtiene (8.25) con
C0 = α0 + · · · + αk,
C1 = α1 + 2α2 + 3α3 + · · · + kαk − β0 − β1 − β2 − · · · − βk,
y en general para cualquier q ≥ 1,
Cq = 1
q! (α1 + 2 q α2 + 3 q α3 + · · · + k q 1
αk) −
(q − 1)! (β1 + 2 q−1 β2 + · · · + k q−1 βk). (8.26)
De la expresión (8.26) se obtiene inmediatamente
Proposición 8.19. Para un método de multipaso se tiene
i) El método es consitente si y sólo si C0 = C1 = 0.
i) El método es de orden p si y sólo si los valores Cq, q ≥ 1 definidos por (8.26) verifican
C0 = C1 = · · · = Cp = 0 y Cp+1 = 0.