Apunte

2. ESTIMACIÓN DEL ERROR 141
Definición 7.6. Decimos que una fórmula de cuadratura Q(f) =
exactitud k, si
b
a
n
Ajf(xj) tiene grado de
j=0
p(x) dx = Q(p) para todo polinomio p ∈ Pk y no para Pk+1.
Observación 7.7. Toda fórmula de cuadratura
b
a
f(x) dx ∼ Q(f) =
Es decir, Q(αf + g) = αQ(f) + Q(g) para todo α ∈ IR, f y g funciones.
n
Ajf(xj) es lineal.
En virtud de este resultado, podemos reducir el estudio del grado de exactitud al comportamiento
de la fórmula sobre una base del espacio de polinomios. Esto queda expresado en la siguiente
observación.
Observación 7.8. Una fórmula de cuadratura Q tiene grado de exactitud k si y solo si es exacta
para la base de Pk, B = {1, x, x2 , . . . , xk } y no lo es para el polinomio xk+1 . Esto es, la igualdad
b
x
a
m n
dx = Ajx
j=0
m j
debe verificarse para todo m = 0, . . . , k y no para m = k + 1.
Además, gracias al Lema 7.3, una fórmula de cuadratura tiene grado de exactitud k independientemente
del intervalo [a, b] para el cual está calculada.
Ejemplo 7.9. Se quiere calcular el grado de exactitud de la fórmula de Simpson cerrada.
Es claro que las fórmulas de Simpson, tanto abiertas como cerradas, son exactas para polinomios
de P2. Luego, por Observación 7.8, basta ver qué sucede con x 3 , x 4 , . . ., y esto puede hacerse,
sin perder generalidad, en el intervalo [−1, 1]. Tenemos
1
−1 1
−1
x 3 dx = 0 = 2
6 [(−1)3 + 4(0) 3 + (1) 3 ],
x 4 dx = 2 2 1
= =
5 3 3 [(−1)4 + 4(0) 4 + (1) 4 ].
Luego, la fórmula de Simpson cerrada tiene grado de exactitud k = 3. Lo mismo sucederá para
la fórmula abierta.
En lo que sigue notaremos por I(f) =
2. Estimación del error
b
a
j=0
f(x) dx. Una vez obtenida una regla de cuadratura
Q(f) surge la pregunta de qué se puede decir sobre el error cometido R(f) = I(f) − Q(f).