Apunte

72 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Observemos que si f ′ (r) = 0 entonces f ′ (xn) = 0 para xn cercano a r (esto lo justificaremos con
más precisión después).
Usando el desarrollo de Taylor de orden 2 centrado en la raíz r se tiene,
0 = f(r) = f(xn) − (xn − r)f ′ (xn) + 1
2 (xn − r) 2 f ′′ (ξ)
donde ξ es un valor intermedio entre xn y r. Entonces
Reemplazando en la igualdad 4.1 queda
enf ′ (xn) − f(xn) = 1
2 f ′′ (ξ)e 2 n
en+1 = 1 f
2
′′ (ξ)
f ′ (xn) e2 n
Con todo esto podemos demostrar el siguiente teorema.
Teorema 4.5. (de convergencia) Si r es un cero simple de f (i.e. f ′ (r) = 0) y sea I =
[r − α, r + α] un intervalo tal que |f ′ (x)| ≥ δ > 0 y |f ′′ (x)| ≤ M en I. Entonces,
Existe ε > 0 tal que Iε = [r − ε, r + ε] ⊂ I y se tiene que |en| → 0 y
siempre que x0 ∈ Iε.
(4.2)
|en+1| ≤ 1 M
2 δ |en| 2 , (4.3)
Demostración. Como las cotas para f ′ y f ′′ siguen siendo ciertas para cualquier subintervalo de
I, podemos elegir ε > 0 tal que
1
2
M
ε = λ < 1.
δ
Entonces, si x0 ∈ Iε tenemos que |e0| = |x0 − r| < ε y usando (4.2) obtenemos
En particular, x1 ∈ Iε. Análogamente,
|e1| = |x1 − r| ≤ λ|e0|.
|e2| = |x2 − r| ≤ λ|e1| ≤ λ 2 |e0|