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58 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Observemos que si A ∈ IR N×N , A ∗ = A T y Hermitiana significa simétrica. Si z ∈ C N y A es Hermitiana entonces z ∗ Az ∈ IR. En general para A cualquiera z ∗ Az = z ∗ A ∗ z. Veamos esto, y entonces z ∗ Az = z ∗ Az = ij ij ziaijzj ziaijzj = z ∗ A ∗ z Teorema 3.22. Sea A ∈ C N×N Hermitiana y definida positiva (o sea z ∗ Az > 0 ∀z = 0), entonces el método de Gauss-Seidel es convergente. Demostración. con ⎛ ⎜ L = ⎜ ⎝ A = L + D + L ∗ 0 0 · · · 0 a21 . 0 · · · . .. 0 aN1 · · · 0 Hay que ver que ρ(BGS) < 1 donde BGS = −(L + D) −1 L ∗ . Observemos que BGS puede escribirse como BGS = I − (L + D) −1 A Sea λ ∈ C un autovalor de BGS y z ∈ C N , z = 0, un autovector correspondiente a λ, es decir (I − (L + D) −1 A)z = λz o bien (L + D)z − Az = λ(L + D)z y esto es equivalente a Az = (1 − λ)(L + D)z Como Az = 0 se deduce que λ = 1. Multiplicando por z∗ se obtiene 1 1 − λ = z∗ (L + D)z z∗Az tomando conjugado y recordando que z∗Az ∈ IR y que D es real se tiene 1 1 − λ = z∗ (L + D) ∗z z∗Az Y sumando estas dos igualdades se obtiene 1 2Re( 1 − λ ) = 1 + z∗Dz z∗ > 1 Az ⎞ ⎟ ⎠ = z∗ (L∗ + D)z z∗ . Az
pues z ∗ Az > 0 y z ∗ Dz > 0 (aii > 0 si A es definida positiva). Entonces si λ = α + iβ, tenemos 1 1 − λ = 2. MÉTODOS ITERATIVOS 59 1 1 − α − iβ 1 − α + iβ 1 − α + iβ 1 − α + iβ = (1 − α) 2 . + (β) 2 Y de esta forma 1 1 − α Re( ) = 1 − λ (1 − α) 2 + (β) 2 y por lo anterior 1 − α (1 − α) 2 1 > + (β) 2 2 es decir 2(1 − α) > 1 − 2α + α 2 + β 2 y esto es equivalente a 1 > α 2 + β 2 . Hemos conseguido ver que |λ| < 1. Se puede probar que si A ∈ CN×N es Hermitiana y con aii > 0 entonces el método de Gauss- Seidel converge si y sólo si A es definida positiva . 2.5. Método SOR. La idea del método SOR (successive over relaxation / sobre relajación sucesiva) es tomar un “promedio” entre el xk i y el xk+1 i de Gauss-Seidel (promedio entre comillas pues los pesos no son necesariamente menores o iguales que 1). Dado ω un parámetro se define = (1 − ω)xk ⎛ i−1 i + ω ⎝bi − x k+1 i j=1 aijx k+1 j − N j=i+1 En forma matricial escribimos como antes A = L + D + U queda entonces con Observemos que B1 = BGS. (D + ωL)x k+1 = ((1 − ω)D − ωU)x k + ωb x k+1 = Bωx k + (D + ωL) −1 ωb Bω = (D + ωL) −1 ((1 − ω)D − ωU) En principio, ω es arbitrario. Sin embargo el siguiente teorema nos dice que es necesario que |ω − 1| < 1 para que haya convergencia (o sea para que ρ(Bω) < 1). Si ω ∈ IR entonces hace falta que 0 < ω < 2. Teorema 3.23. (Kahan) Sea A ∈ C N×N , con aii = 0, entonces ρ(Bω) ≥ |1 − ω| aijx k j ⎞ ⎠ 1 aii
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ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO Ric
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Definimos los polinomios de Bernste
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Capítulo 7 Integración numérica
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