Apunte

82 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
f[a, b, c] = 1
2 f ′′ (η).
Aplicando el lema 4.17 a nuestra expresión de en+1 dada en (4.7) queda
en+1 = − 1
2
y de acá se puede deducir la convergencia local.
f ′′ (ηn)
f ′ (ξn) enen−1
Teorema 4.18. Si f ′ (r) = 0, |f ′′ | ≤ K en un entorno de r y x0, x1 están suficientemente cerca
de r, es decir existe ε > 0 tal que si x0, x1 ∈ Iε = (r − ε, r + ε), entonces
en → 0.
Demostración. Existe ε > 0 tal que |f ′ | > δ en Iε, entonces si x0, x1 ∈ Iε tenemos que
|e2| ≤ K
2δ |e1||e0| ≤ K
2δ ε2
y si ahora pedimos (quizás achicando el ε) que
nos queda que
y entonces x2 ∈ Iε. Ahora bien
K
ε = λ < 1
2δ
|e2| ≤ λε < ε
|e3| ≤ K
2δ |e2||e1| ≤ K
2δ λε2 ≤ λ 2 ε
|e4| ≤ K
2δ |e3||e2| ≤ K
2δ ελ2ελ ≤ λ 3 ε.
Y podemos concluir por inducción que
|en| ≤ λ n−1 ε → 0.
Veamos el orden de convergencia del método de la secante, teníamos