Apunte

7. EJERCICIOS 109
Derivando, y utilizando la notación ∆fj = f(xj+1) − f(xj), obtenemos
S ′ j(x) = − yj
2hj
(xj+1 − x) 2 + yj+1
(x − xj)
2hj
2 + ∆fj
hj
− hj
6 (yj+1 − yj)
y tenemos que elegir yj para que se cumpla la condición que falta, es decir, que S ′ sea continua,
o sea
S ′ j(xj) = S ′ j−1(xj) 1 ≤ j ≤ n − 1
de lo que resulta que las n + 1 incógnitas yj deben ser solución del siguiente sistema de n − 1
ecuaciones,
con
hj−1yj−1 + 2(hj + hj−1)yj + hjyj+1 = bj
∆fj
bj = 6
hj
− ∆fj−1
hj−1
Como tenemos dos incógnitas más que ecuaciones, podemos dar valores arbitrarios a y0, yn y,
pasando los términos correspondientes al lado derecho, obtenemos el sistema tridiagonal,
⎛
⎜
⎝
donde γi = 2(hi + hi−1).
γ1 h1 0 · · · 0
h1
.
γ2
.
h2 · · ·
. ..
0
.
0 · · · · · · γn−1
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
y1
y2
.
yn−1
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
b1 − h0y0
b2
.
bn−1 − hn−1yn
Ahora, como A es diagonal estrictamente dominante, entonces es inversible. Por lo tanto existe
solución única una vez elegidos y0, yn.
Por ejemplo podemos elegir y0 = yn = 0 para que se satisfagan las condiciones S ′′ (x0) = 0 y
S ′′ (xn) = 0, lo que concluye la demostración.
Observemos que en general S ′ (xj) = f ′ (xj) y S ′′ (xj) = f ′′ (xj).
7. Ejercicios
1. Para cada uno de los conjuntos de datos dados en las siguientes tablas calcular el polinomio
p(x) interpolador de grado menor o igual que 3, en la forma de Lagrange. Verificar
utilizando el comando polyfit de Matlab. Graficar el polinomio interpolador, usando el
comando polyval.
x -1 0 2 3
y -1 3 11 27
x -1 0 1 2
y -3 1 1 3
2. Repetir el problema anterior, usando el método de coeficientes indeterminados.
⎞
⎟
⎠