Apunte

Capítulo 7
Integración numérica
En este capítulo estudiamos métodos para aproximar el valor de una integral definida en un
intervalo [a, b]. En los cursos elementales de Cálculo se aprende que el valor b
a f(x)dx puede
obtenerse a partir de una primitiva de f mediante la regla de Barrow. Sin embargo, en muchos
casos no es posible encontrar una primitiva expresable en términos de funciones conocidas.
Un ejemplo es el de la integral b
a e−x2dx
que juega un papel muy importante en la teoría de
probabilidades. Puede demostrarse que la función e−x2 no tiene primitiva expresable mediante
composiciones y operaciones algebraicas de las funciones conocidas. Más allá de este ejemplo
clásico, esta situación se da en una gran variedad de funciones.
En consecuencia será necesario recurrir a las llamadas reglas de integración numérica o de
cuadratura. La idea básica para construir estas reglas es reemplazar la función por un polinomio
puesto que:
1. Es fácil integrar polinomios.
2. Toda función continua puede aproximarse por polinomios.
Entonces, dada una función f ∈ C[a, b] aproximamos el valor b
a f(x)dx por b
a p(x)dx donde p
es algún polinomio que esta cerca de f.
A continuación describimos el procedimiento más usual para construir reglas de integración, el
cual consiste en elegir el polinomio aproximante como uno que interpole a f. Para esto se eligen
en primer lugar n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ [a, b]. Sabemos que existe un único pn ∈ Pn tal que
pn(xj) = f(xj) para j = 0, . . . , n y definimos entonces la regla de integración numérica Q(f) por
Q(f) =
b
a
pn(x) dx.
Si escribimos pn en la forma de Lagrange (ver (5.3)), o sea,
n
pn(x) = f(xj)ℓj(x),
i=0
donde ℓj(xj) = 1 y ℓj(xi) = 0 para i = j, tenemos
b
a
pn(x) dx =
b
a
n
f(xj)ℓj(x) dx =
j=0
n
f(xj)
j=0
b
a
ℓj(x) dx =
n
Ajf(xj).
j=0