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26 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO<br />
El cálculo de la norma 2 de una matriz involucra el cálculo de autovalores, el cual es un problema<br />
complicado. Sin embargo, otras normas son mucho más fáciles de calcular. Por ejemplo, se tiene<br />
que<br />
A∞ = máx<br />
n<br />
|aij|<br />
1≤i≤n<br />
j=1<br />
Para ver esto observemos primero que, para todo x ∈ IR n vale<br />
y entonces,<br />
Ax∞ = máx<br />
1≤i≤n |<br />
N<br />
aijxj |≤ x∞ máx<br />
j=1<br />
A∞ ≤ máx<br />
n<br />
|aij|<br />
1≤i≤n<br />
j=1<br />
N<br />
|aij|<br />
1≤i≤n<br />
j=1<br />
Para ver que vale la otra desigualdad, sea k tal que n<br />
j=1 |akj| es máxima y tomemos<br />
x =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
sg(ak1)<br />
sg(ak2)<br />
· · ·<br />
sg(akn)<br />
donde sg(a) = 1 si a ≥ 0 y sg(a) = −1 si a < 0. Entonces,<br />
(Ax)k =<br />
n<br />
j=1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
|akj|<br />
y en particular, Ax∞ ≥ n<br />
j=1 |akj| y como x∞ = 1 obtenemos<br />
y concluimos que<br />
Ax∞<br />
x∞<br />
≥<br />
A∞ ≥ máx<br />
n<br />
j=1<br />
|akj|<br />
n<br />
|aij|<br />
1≤i≤n<br />
j=1<br />
De manera similar puede verse, aunque no lo haremos aquí, que
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