Apunte

Iterando el procedimiento, podemos ver que
2. ANÁLISIS DEL ERROR Y CONVERGENCIA 181
n−1
A j .
|en| ≤ (1 + A + A 2 + · · · + A n−1 )hτmáx = hτmáx
j=0
Ahora, usando la fórmula para suma de potencias tenemos
es decir
Como para α > 0 se tiene
entonces,
A
|en| ≤ hτmáx
n − 1
A − 1 ,
(1 + Kh)
|en| ≤ hτmáx
n − 1
Kh
(1 + α) n ≤ e nα
|en| ≤ τmáx
K (enKh − 1) = τmáx
lo que concluye la demostración.
= τmáx
(1 + Kh)
K
n
− 1 .
K (eK(T −t0) − 1),
Bajo las hipótesis del Teorema 8.10 se deduce, de la fórmula (8.20), que un método de un paso
es convergente si lím τmáx = 0. El resultado que sigue, del cual omitimos demostración permite
h→0
verivicar facilmente si lím τmáx = 0.
h→0
Proposición 8.11. Para un método de un paso con función de incremento Φ continua en sus
tres variables, se tiene que
lím
h→0 τmáx = 0 si y sólo si Φ(t, x, 0) = f(t, x).
Observación 8.12. Los métodos de Euler, los de Taylor y de Rungge-Kutta son convergentes.
Demostración. Para los métodos de Taylor se tiene
x(ti + h) ∼ x(ti) + hx ′ (ti) + 1
2 h2x ′′ (ti) + · · · + 1
k! hkx (k) (ti),
y por tanto
Φ(t, x, h) = x ′ (t) + 1
2 hx′′ (t) + · · · + 1
k! hk−1x (k) (t).
Al evaluar en h = 0 tenemos, Φ(t, x, 0) = x ′ (t) = f(t, x).
En cuanto a los métodos de Runge-Kutta, sólo verificaremos los dados por las fórmulas (8.11) y
(8.12). El método de orden 4 dado por (8.15) queda como ejercicio.