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54 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES −(L + D) −1 U = 1 ⎛ ⎝ 4 0 −2 2 0 −2 6 0 2 −4 de donde p(λ) = λ3 + 5 4λ2 − 1 4λ y calculando las raíces de p(λ) obtenemos con aproximación los autovalores λ1 = 0, λ2 = 0,1514 y λ3 = −1,6514 y por tanto ρ(BGS) = |λ3| > 1 y entonces el método de Gauss-Seidel no converge. Ejemplo 3.16. Caso IR2 En este caso es fácil analizar el método de Jacobi y el de Gauss-Seidel. a11 a12 A = entonces y Entonces, Es decir, BJ = −D −1 (L + U) = a21 a22 ⎞ ⎠ 0 − a12 a11 − a21 a22 BGS = −(D + L) −1 a12 0 − a11 U = 0 ρ(BJ) = |a12a21| |a11a22| ρ(BGS) = |a12a21| |a11a22| . ρ(BGS) = ρ(BJ) 2 . 0 a12a21 a11a22 Como conclusión en IR 2 Jacobi converge si y sólo si Gauss-Seidel converge. Y si convergen (o sea ρ < 1) es mejor asintóticamente Gauss-Seidel, pues en este caso ρ(BGS) < ρ(BJ). Por ejemplo, si A es estrictamente diagonal dominante, entonces convergen los dos métodos. Y esto en IR 2 es decir |a12| < |a11| y |a21| < |a22|. Si A es simétrica y definida positiva entonces convergen ambos métodos en IR 2 , pues entonces . a11 > 0 a12 = a21 det A = a11a22 − a 2 12 > 0 a 2 12 a11a22 a11a22 > a 2 12 = ρ(BGS) = ρ(BJ) 2 < 1. El ejemplo anterior se generaliza para el método de Gauss-Seidel en IR N pero no para el método de Jacobi. Veamos ahora el último ejemplo de esta serie.
Ejemplo 3.17. Sea A ∈ IR 3 una matriz tridiagonal entonces, Si ponemos A = y Y entonces 2. MÉTODOS ITERATIVOS 55 ρ(BGS) = ρ(BJ) 2 ⎛ ⎝ a11 a21 a12 a22 0 a23 ⎞ ⎠ entonces BJ = −D 0 a32 a33 −1 (L + U) = det(λI − BJ) = λ 3 a12a21 − λ + a11a22 a23a32 . a22a33 ρ(BJ) = Para el método de Gauss-Seidel se tiene Entonces L + D = ⎛ Y los autovalores resultan ser Entonces, ⎝ a11 0 0 a21 a22 0 0 a32 a33 a12a21 ⎞ a11a22 + a23a32 . a22a33 ⎠ y U = ⎛ BGS = −(L + D) −1 ⎜ U = ⎜ 0 ⎝ 0 − a12 a11 a12a21 a11a22 0 − a12a21a32 a11a22a33 ⎛ ⎛ ⎝ 0 − a12 a11 − a21 a22 ⎝ 0 a12 0 0 0 a23 0 0 0 0 − a23 a22 a23a32 a22a33 det(λI − BGS) = λ 3 − λ 2 a12a21 + a11a22 a23a32 . a22a33 a12a21 λ1 = λ2 = 0 λ3 = a11a22 ρ(BGS) = a12a21 a11a22 + a23a32 . a22a33 + a23a32 2 = ρ(BJ) a22a33 ⎞ ⎟ ⎠ 0 − a32 a33 ⎞ ⎠ . 0 0 − a23 a22 Los autovalores de Jacobi son los autovalores de BJ = −D −1 (L + U) y resultan ser las raíces µ de det(µI + D −1 (L + U)) = det(D −1 (µD + L + U)) = det(D −1 ) det(µD + L + U) y como por hipótesis det(D −1 ) = 0 (asumimos aii = 0), µ son las raíces de det(µD + L + U). 0 ⎞ ⎠
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ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO Ric
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Demostración. Se hace por inducci
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Capítulo 7 Integración numérica
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