Apunte

148 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Entonces, si f ∈ C k+1 [a, b] y h = máxj(xj+1 − xj) se tiene que
|R(f)| = |I(f) − Q(f)| ≤
Demostración. Por el Teorema 7.10 sabemos que
(1 + M)(b − a)
(k + 1)!
h k+1 f k+1 ∞ .
|Rj(f)| ≤ (1 + M)(xj+1 − xj) k+2
f
(k + 1)!
k+1 ∞ .
En consecuencia, acotando (xj+1 − xj) k+1 por h k+1 se tiene
n−1
|R(f)| ≤ |Rj(f)| ≤
j=0
≤
n−1
(1 + M)
(k + 1)!
j=0
n−1
(1 + M)
(k + 1)!
j=0
(xj+1 − xj) k+2 f k+1 ∞
(xj+1 − xj)h k+1 f k+1 ∞ ,
pero n−1
j=0 (xj+1 − xj) = b − a, lo que concluye la demostración.
El teorema anterior puede aplicarse a las reglas compuestas usuales (tales como Trapecios y
Simpson) para obtener una estimación del error en términos de h = máxj(xj+1 − xj). Sin
embargo, un análisis mas detallado permite dar una expresión más precisa del error en esos
casos particulares. Para esto vamos a necesitar el siguiente lema.
Lema 7.18. Sea g ∈ C[a, b] y sean {a0, . . . , ak} constantes con el mismo signo y {t0, . . . , tk} ∈
[a, b], entonces se tiene
para algún η ∈ [a, b].
k
ajg(tj) = g(η)
j=0
Demostración. Sea m = mín g(x) y M = máx g(x) en [a, b]. Podemos suponer que aj ≥ 0 para
todo j = 1, . . . , k, luego
k
j=0
para cada j : m ≤ g(tj) ≤ M
(aj ≥ 0) m aj ≤ ajg(tj) ≤ M aj
(sumando)
k
m aj ≤
k
g(tj)aj ≤
k
M
Ahora, definimos la función G : [a, b] → IR,
j=0
G(x) = g(x)
j=0
k
aj,
j=0
aj
j=0
aj