Apunte

20 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO
en el mejor de los casos.
|λ2|
|λ1|
En general, el error tendrá componentes en cualquier dirección por lo que es de esperar que si
es grande los errores relativos se amplifiquen.
|λ1|
|λ2|
El mismo análisis puede hacerse en IR n . Si A es una matriz diagonal
⎛
A = ⎝ λ1 · · ·
· · ·
0
⎞
⎠
0 · · · λN
el error relativo se puede amplificar, a lo sumo, por un factor
|λmáx|
|λmín|
siendo λmáx y λmín los de máximo y mínimo valor absoluto entre los λj (observemos que λmín = 0
pues estamos suponiendo que A es inversible). Este cociente se llama número de condición o de
condicionamiento de A en la norma 2 y lo denotaremos Cond2(A).
Ahora veamos cómo definir el número de condición para una matriz A arbitraria. Comencemos
por el caso en que A sea simétrica, es decir aij = aji. En este caso A se puede diagonalizar,
es decir, existe una base de autovectores {v1, . . . , vn}. Además, por ser A simétrica podemos
considerar que la base es ortonormal. Entonces, si Ax = b , A(x + ∆x) = b + ∆b y
tenemos,
x =
x 2 2 =
n
i=1
n
i=1
αivi
α 2 i
∆x =
n
i=1
∆x 2 2 =
y además, si llamamos λi al autovalor correspondiente a vi,
y en consecuencia,
b =
n
i=1
n
αiλivi
∆b =
n
i=1
βivi
n
i=1
β 2 i
βiλivi
b 2 2 = α
i=1
2 i λ 2 i ∆b 2 2 = β
i=1
2 i λ 2 i
Entonces, si λmáx y λmín son los autovalores de máximo y mínimo valor absoluto respectivamente,
obtenemos
n