Apunte

2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO 27
A1 = máx
1≤j≤n
Hemos visto que el número Cond(A) nos da una medida de cuán mala es una matriz en cuanto a
la propagación de los errores relativos. Si este número es grande se dice que la matriz está “mal
condicionada”.
Si A es una matriz singular y, para cierto b, el sistema Ax = b tiene alguna solución, entonces
tendrá infinitas y éstas formarán una variedad lineal de IR n . Es decir que sin cambiar nada
b se pueden obtener soluciones tan distantes como se quiera. En otras palabras, en este caso
tendríamos ∆b = 0 mientras que ∆x sería arbitrariamente grande.
En consecuencia, es natural esperar que el número Cond(A) nos de una medida de cuán cerca
está A de ser singular. Esto es efectivamente así y lo formalizaremos en el próximo teorema.
Pero antes veamos algunos ejemplos. Sea ε ∼ 0 entonces la matriz
está cerca de la matriz singular
y en este caso
entonces,
y en consecuencia,
A =
n
i=1
1 1 + ε
1 − ε 1
B =
A −1 = ε −2
1 1
1 1
|aij|
1 −1 − ε
−1 + ε 1
A∞ = 2 + ε A −1 ∞ = (2 + ε)ε −2
2 + ε
Cond∞(A) =
ε
2
> 4
ε 2
Es importante recalcar que esta “distancia a las matrices singulares” debe entenderse en forma
relativa al tamaño de A. En este ejemplo tenemos no sólo que A − B∞ es chica sino que lo es
en relación con A∞. En efecto,
A − B∞
A∞
= ε ε
<
2 + ε 2