Apunte

68 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Entonces el error relativo es
| √ 2 − x8| ≤
| √ 2 − x8|
√ 2
≤
1
128 √ 2
b − a 2 1
= =
28 28 128 .
≤ 0,005 . . . ∼ 5
1000 .
La desventaja del método de bisección es que converge muy lentamente, por ejemplo en comparación
con el método de Newton-Raphson que veremos más adelante.
En cada paso la cota del error, (b − a)/2 n , se reduce a la mitad,
En consecuencia se reduce 1
10
|en+1| ≤
b − a
.
2n en tres o cuatro pasos (se gana una cifra en tres o cuatro pasos).
2. Método regula falsi
Este método llamado “regula falsi” o de falsa posición puede verse tanto como una variante del
método de bisección como del método Newton-Raphson, que veremos en la próxima sección.
Supongamos, nuevamente, que tenemos una función f : [a, b] → IR continua que verifica
f(a)f(b) < 0 (entonces existe una raíz, r, en [a, b], por el teorema de Bolzano) y supongamos
que la raíz es única en ese intervalo.
Definimos x1 como la intersección de la recta secante L con el eje x (en lugar de tomar el
, como se hace con el método de bisección).
promedio b−a
2
La recta L, que une los puntos (a, f(a)) con (b, f(b)) tiene ecuación:
y − f(a) =
Como x1 es el valor de x que cumple y = 0, se tiene,
x1 = a −
f(b) − f(a)
(x − a).
b − a
f(a)
af(b) − bf(a)
(b − a) =
f(b) − f(a) f(b) − f(a)
Si f(x1) = 0 entonces f(a)f(x1) < 0 o bien f(b)f(x1) < 0. Supongamos f(b)f(x1) < 0, definimos
x2 con el mismo procedimiento anterior con el intervalo [x1, b] = I1, y así sucesivamente.
Observemos que puede suceder que |In| no tienda a cero, pero sin embargo xn → r para toda f
continua.