Apunte

38 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ahora veamos algunas propiedades que nos serán muy útiles. En el caso general en que A ∈
IR N×N sea simétrica (i.e. A = A T ) y definida positiva se tienen las siguientes propiedades,
1. aii > 0 para cualquier i = 1, . . . , N, pues
0 < 〈ei, Aei〉 = aii
2. Los menores principales sj son positivos (este es un resultado conocido de Álgebra Lineal).
Ahora observamos que lo que hicimos en 3 × 3 se puede hacer en N × N, es decir,
si y sólo si
Es decir,
Entonces, despejando,
Además
y entonces
lik =
aik =
k−1
aik =
A = LL T
j=1
k
j=1
lijlkj.
lijlkj + liklkk.
aik − k−1 j=1 lijlkj
akk =
lkk
k
l 2 kj =
k−1
j=1
j=1
⎛
k−1
lkk = ⎝akk
−
l 2 kj + l2 kk
j=1
l 2 kj
⎞
⎠
i > k.
Obtenemos, de esta manera, una forma recursiva para el cálculo de los elementos lij.