Apunte

2 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO
x = 0, a1a2 . . . ak . . . 10 l = r × 10 l ,
1
10 ≤ r < 1 (es decir, a1 = 0)
Pero en una computadora no se pueden poner infinitos dígitos. Por lo tanto, se trabaja sólo con
números de desarrollo finito y de una longitud dada. De la misma forma, el exponente l (es decir
el orden del número) estará limitado a cierto rango. En consecuencia los números de máquina
serán de la forma
− M1 ≤ l ≤ M2, , a1 = 0
más los correspondientes negativos y el cero. Los números m, M1 y M2 dependen de la máquina.
Esta representación de los números es la que se llama de punto flotante.
x = 0, a1a2 . . . am10 l = q × 10 l
Los números de máquina forman un conjunto finito de números racionales. La cantidad de
números de máquina que hay entre 1/10 y 1 es,
#{x / 1/10 ≤ x < 1} = 9 × 10 m−1 .
En general, la cantidad que hay entre 10 l y 10 l+1 es también 9 × 10 m−1 . Esto nos dice que
los números de máquina no están uniformemente distribuidos. Sí lo está el subconjunto que
está entre 10 l y 10 l+1 para cada l. En particular, los números más grandes están más separados.
Resulta útil para la comprensión hacer un dibujo de los números de máquina en la recta
numérica (Ejercicio). Al analizar la propagación de errores de redondeo se aclarará por qué esta
distribución de los números es más razonable que una uniforme.
Sea x ∈ IR. Para simplificar notación supondremos x > 0 (claramente todas las consideraciones
que haremos se aplican análogamente a los números negativos). Hay dos posibilidades: que x
esté o no en el rango de los números de máquina. Si al hacer cálculos aparece un número en
la segunda situación, por ser muy grande o muy chico, la computadora nos dará un mensaje
indicándolo.
Supongamos entonces que x está en el rango de la máquina, o sea,
x = 0, a1a2 . . . am . . . 10 l
Este x está entre dos números de máquina,
x ′ ≤ x ≤ x ′′
M1 ≤ l ≤ M2, a1 = 0
Supongamos, para simplificar, que am = 9 (analice el lector el caso contrario). Entonces tenemos
y
x ′ = 0, a1a2 . . . am10 l
x ′′ = 0, a1a2 . . . (am + 1)10 l