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62 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES c) si ρ(BJ) < 1, cuántas iteraciones se necesitan para reducir el error del método en más de 10−m (en función de ρ(BJ)). d) cuántas multiplicaciones y divisiones se requieren para calcular la solución del sistema por el método de eliminación gaussiana. e) cuántas iteraciones del método de Jacobi podrían realizarse antes de igualar la cantidad de operaciones necesarias al usar el método de eliminación gaussiana. 10. Sean BJ y BGS las matrices asociadas al método de Jacobi y de Gauss-Seidel respectivamente del sistema Ax = b. a) Mostrar que si A(i, k) = 0 entonces, el elemento BJ(i, k) = 0. Notar que si A es una matriz rala (con muchos ceros) entonces BJ también lo es. Luego, en cada iteración se requieren pocas multiplicaciones. b) Mostrar que λ = 0 siempre es un autovalor de BGS. ¿De qué autovector? 11. Dada una matriz ⎛ ⎞ A = ⎝ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 y un vector b ∈ IR3 , se quiere resolver el sistema de ecuaciones Ax = b; para lo cual se considera el siguiente método iterativo, que es un caso particular de los métodos llamados Jacobi por bloques: xk+1 = − ⎛ ⎝ a11 a12 0 a21 a22 0 0 0 a33 ⎞ ⎠ −1 ⎛ · ⎝ 0 0 a13 0 0 a23 a31 a32 0 ⎞ ⎠ ⎠ · xk + Este método resulta convergente para los siguientes datos: ⎛ ⎞ ⎛ 8 2 −3 A = ⎝ −3 9 4 ⎠ y b = ⎝ 3 −1 7 −20 62 0 ⎛ ⎝ a11 a12 0 a21 a22 0 0 0 a33 Hacer un programa que calcule la sucesión de aproximaciones generada con valor inicial el vector nulo y que se detenga cuando xk+1−xk∞ ≤ 10 −4 (es decir, cuando la iteración “se estabiliza”). 12. Sea A ∈ IR n×n . Probar que λ = 1 es autovalor de la matriz de Jacobi (o Gauss-Seidel) de A si y sólo si A es no inversible. 13. Para resolver el sistema Ax = b, se utiliza un método iterativo cuya matriz de iteración J es diagonalizable y satisface ρ(J) < 1. Sea ek el vector error en el k-ésimo paso. a) Demostrar que ek∞ = O(ρ(J) k ). b) Probar que si ek = 0 para todo k ∈ IN y ρ(J) = 0, la sucesión (ek∞)k∈IN tiende a 0 linealmente. 14. Utilizar la iteración de Gauss-Seidel para resolver el sistema Anx = bn para 1 2 An = 2 4 + 1 n2 y bn = (1, 2 − 1 ). n2 ¿Cómo es la convergencia? ¿Tiene esto que ver con el mal condicionamiento de A? Dar un ejemplo de una matriz mal condicionada para la cual la convergencia sea rápida. 15. Hacer un programa que pida el ingreso de una matriz A y un vector b y luego calcule las matrices de iteración de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. ⎞ ⎠ . ⎞ ⎠ −1 · b,
3. EJERCICIOS 63 calcule el menor de los radios espectrales de las dos matrices anteriores y, si este valor resulta menor a 1, entonces realice las primeras 10 iteraciones del método correspondiente (o de cualquiera de los dos métodos en caso de que los radios espectrales resulten coincidentes), con valor inicial el vector nulo. 64 −6 16. Considerar el sistema Ax = b para A = y b = (1, 2). 6 −1 a) Demostrar que el método de Jacobi converge para todo dato inicial. Verificar, sin embargo, que la matriz no es diagonal dominante. b) Sea J la matriz de iteración. Hallar las normas 1, ∞ y 2 de J. Hallar una norma en la cual J sea < 1.
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ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO Ric
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Definimos los polinomios de Bernste
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