Apunte

3. FÓRMULAS DE CUADRATURA COMPUESTAS 147
3. Fórmulas de cuadratura compuestas
Si queremos aumentar la precisión al aproximar b
a f(x) dx, podemos aumentar el número de
nodos. Esto es, considerar n + 1 nodos y el polinomio de Pn que interpola a f en esos nodos,
con n ∈ IN grande. Esto no siempre es conducente. Como vimos en el Capítulo 5, aumentar el
grado del polinomio interpolador puede producir errores grandes en la aproximación, los que
podrían trasladarse al cálculo de la integral. Otra posibilidad es partir el intervalo [a, b] en
pequeños subintervalos y en cada uno de estos aplicar una aproximación del tipo Trapecios o
Simpson. Este método que vamos a desarrollar en esta sección es el más usual y se conoce como
“cuadratura compuesta”.
La idea general es como sigue. Partimos el intervalo [a, b] en subintervalos eligiendo puntos xj
con a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Sabemos que
Ahora si para cada
I(f) =
b
a
n−1
f(x) dx =
Ij(f) =
xj+1
xj
j=0
xj+1
xj
f(x) dx
f(x) dx.
tenemos una fórmula de cuadratura Qj(f) y consideramos el error respectivo,
obtenemos
Rj(f) = Ij(f) − Qj(f)
n−1
n−1
R(f) = Rj(f) = (Ij(f) − Qj(f))
j=0
Esto es, la fórmula de cuadratura será
b
a
=
j=0
b
a
n−1
f(x) dx − Qj(f)
n−1
n−1
f(x) dx ∼ Qj(f) con error R(f) = Rj(f). (7.9)
j=0
Usando el Teorema 7.10 podemos obtener un resultado general de estimación del error.
Teorema 7.17. Sea Q(f) una regla de cuadratura como en (7.9) donde cada Qj(f) es lineal,
tiene grado de exactitud k y satisface en el intervalo [xj, xj+1] que |Qj(f)| ≤ M(xj+1 −xj)f∞,
para alguna constante M.
j=0
j=0