Apunte

2. ANÁLISIS DEL ERROR Y CONVERGENCIA 177
Ejemplo 8.5. Aplicar el método de Euler Modificado y el método de Runge-Kutta de orden 4
dado en (8.15) para aproximar √ 2 como solución del problema
x ′ (t) = 1
2x ,
x(1) = 1.
considerando el intervalo [1, 2].
En cualquier caso, la función a considerar es f(t, x) = 1
2x . Para el método de Euler Modificado
la sucesión de recurrencias correspondiente a (8.10) es
xi+1 = xi + h
2
1
2xi + h
2
1
2xi
= xi + h
Para el método de orden 4 vamos a escribir K1, K2, K3 y K4 sin desarrollar completamente las
expresiones.
4x 2 i
xi
+ h.
K1 = 1
2x , K3
1
= ,
2x + hK2
1
1
K2 = , K4 = .
2x + hK1
2x + hK3
En la Tabla 8.3 damos los valores obtenidos con ambos métodos para un paso h = 0,25. El gáfico
correspondiente se tiene en la Figura 8.3.
t x = √ t Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4
1.000 1.000000 1.000000 1.000000
1.250 1.118034 1.058824 1.119073
1.500 1.224745 1.114734 1.226467
1.750 1.322876 1.168117 1.325074
2.000 1.414214 1.219278 1.416760
Cuadro 8.3. Métodos de Runge-Kutta, x ′ = 1
2x ; x(1) = 1; paso h = 0,25.
2. Análisis del error y convergencia
El objetivo de esta sección es analizar cuál es el error que se comete al utilizar los métodos
numéricos para aproximar la solución de una ecuación de la forma (8.2). Para esto introducimos
dos conceptos, el error de truncamiento local y el error global. El primero corresponde al error
que se cometería al aproximar el valor de x(t+h) si se conociera el valor exacto de x(t), mientras
que el segundo corresponde al error que se acumula al aplicar n pasos de un método, es decir
x(tn) − xn.