Apunte

92 5. INTERPOLACI ÓN
a0 + a1xj + a2x 2 j + . . . + anx n j = 0 ∀j = 0, . . . , n.
Entonces a0 = . . . = an = 0 (pues un polinomio de grado n no nulo no puede tener n + 1 raíces
distintas).
Ejemplo 5.3. Analicemos qué sucede si interpolamos la función f(x) = x 2
3 en el intervalo
[−1, 1] por un polinomio considerando puntos equiespaciados.
En este caso, sin encontrar explícitamente el polinomio, si tenemos en cuenta la paridad de la
función, podemos pensar que un polinomio de grado par será una buena elección. La Figura 5.1
muestra el gráfico de f junto con el polinomio interpolante p que se obtiene al considerar 11
puntos equiespaciados. Si consideramos la diferencia máxima entre f y el polinomio p evaluados
en una malla suficientemente fina (puntos equiespaciados con distancia h = 0,01), el error que
se obtiene es grande como puede observarse en el gráfico; el error numérico = 1.4886. . .
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 5.1. Interpolación de f(x) = x 2 3 en [−1, 1], (11 puntos equiespaciados)
2. Error de interpolación
Cuando los datos obtenidos corresponden con datos de una función f definida en [a, b] y x0,
x1,. . . , xn ∈ [a, b] son n + 1 puntos distintos, el polinomio interpolador a encontrar será un
polinomio pn ∈ Pn que coincida con f en dichos puntos, es decir pn verifica que
pn(xj) = f(xj) ∀j = 0, . . . , n.
La ventaja de obtener un polinomio que interpola a una función f de la cual sólo se conocen
sus valores en los puntos {x0, . . . , xn} es que, el polinomio, arroja una fórmula que permite
sustituir la función f y hacer evaluaciones en puntos diferentes a los conocidos. Para que este