Apunte

2. MÉTODOS ITERATIVOS 51
Ahora analicemos qué pasa con el método de Gauss-Seidel en este mismo ejemplo.
⎛ ⎞
1 a a
A = ⎝ a 1 a ⎠
a a 1
y entonces
Calculando obtenemos
⎛
L + D = ⎝
1 0 0
a 1 0
a a 1
⎞
(L + D) −1 = ⎝
⎛
⎠ y U = ⎝
⎛
1 0 0
−a 1 0
a 2 − a −a 1
Entonces B = BGS = −(L + D) −1U es
⎛
0
B = ⎝ 0
−a
a
−a
2 a2 − a
0 a2 − a3 2a2 − a3 ⎞
⎠ .
Veamos los autovalores de B,
⎛
λI − B = ⎝
⎞
0 a a
0 0 a
0 0 0
⎠ .
λ a a
0 λ − a 2 a − a 2
0 −a 2 + a 3 λ − 2a 2 + a 3
Tenemos λ1 = 0. Para simplificar, ahora consideremos el caso particular a = 1
2 , para este valor
de a se obtiene
⎛
0 −
B = ⎝
1 ⎞ 1
2 − 2
1 1 0 − ⎠ .
Y entonces,
Con lo cual,
⎛
8B = ⎝
0 −4 −4
0 2 −2
0 1 3
⎞
Las raíces de (λ − 2)(λ − 3) + 2 son
4
1 0 8
4
3
8
⎛
⎠ y λI − 8B = ⎝
det(λI − 8B) = λ((λ − 2)(λ − 3) + 2).
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .
λ 4 4
0 λ − 2 2
0 −1 λ − 3
λ2 = 5 + √ −7
2
λ3 = 5 − √ −7
2
Como estos son los autovalores de 8B los autovalores de B son
λ1 = 0 λ2 = 5 + √ −7
λ2 =
16
5 − √ −7
.
16
Observemos que
√
32
|λ2| = |λ3| =
16 =
√
2
< 1.
4
⎞
⎠ .