Apunte

108 5. INTERPOLACI ÓN
Teorema 5.19. Dada f ∈ C[a, b] y a = x0 < x1 < x2 . . . < xn = b, existe un única S ∈ C 2 [a, b]
tal que
con S ′′ (a) = S ′′ (b) = 0.
⎧
⎨
⎩
S(xj) = f(xj) 0 ≤ j ≤ n
S | [xj,xj+1]∈ P3
Demostración. Para j = 0, . . . , n − 1 usaremos la notación
Sj = S | [xj,xj+1] y hj = xj+1 − xj.
La función S buscada debe cumplir que S ′′ es una poligonal. Por lo tanto, si S ′′ (xj) = yj, S ′′
j se
escribe como
S ′′ xj+1 − x x − xj
j (x) = yj + yj+1
hj
hj
0 ≤ j ≤ n − 1.
Veremos que es posible encontrar valores yj de tal forma que se cumplan las condiciones requeridas
para S. Integrando dos veces obtenemos, para x ∈ [xj, xj+1], con 0 ≤ j ≤ n − 1
Sj(x) = yj
6hj
(xj+1 − x) 3 + yj+1
(x − xj)
6hj
3 + cj(x − xj) + dj(xj+1 − x) (5.7)
donde cj, dj son constantes a determinar que provienen de la integración.
Observemos que para cualquier elección de yj, cj y dj, S ′′ resulta continua por ser poligonal.
Por lo tanto resta ver que esas constantes pueden elegirse de manera que se verifiquen las otras
condiciones requeridas sobre S y S ′ .
Para que S sea continua e interpole a f tenemos que elegir cj, dj tal que
Sj(xj) = f(xj) y Sj(xj+1) = f(xj+1), 0 ≤ j ≤ n − 1
de lo que, reemplazando en (5.7), obtenemos
cj = f(xj+1)
hj
y por lo tanto, para cada 0 ≤ j ≤ n − 1
Sj(x) = yj
6hj
− yj+1hj
6
(xj+1 − x) 3 + yj+1
(x − xj)
6hj
3 +
y dj = f(xj)
hj
− yjhj
6
f(xj+1)
+ −
hj
yj+1hj
f(xj)
(x − xj) + −
6
hj
yjhj
(xj+1 − x).
6