Apunte

128 6. POLINOMIOS ORTOGONALES Y APROXIMACIÓN POR CUADRADOS MÍNIMOS
Terminamos el capítulo dando una forma más eficiente de encontrar los polinomios ortogonales
asociados a un producto interno. En efecto, el siguiente teorema muestra que cada polinomio qn
se escribe en función de los dos anteriores y por lo tanto la sucesión de polinomios ortogonales
mónicos puede obtenerse por recurrencia.
Teorema 6.20. Si un producto interno en C[a, b] satisface 〈xf, g〉 = 〈f, xg〉 entonces los polinomios
ortogonales mónicos qn satisfacen la relación de recurrencia
donde an y bn están dados por
qn(x) = (x − an)qn−1(x) − bnqn−2(x) , ∀n ≥ 2 (6.5)
an = 〈xqn−1, qn−1〉
〈qn−1, qn−1〉
y bn = 〈qn−1, qn−1〉
〈qn−2, qn−2〉 .
Demostración. Sea n ≥ 2. Como cero es raíz del polinomio qn(x) − qn(0) podemos escribir
qn(x) − qn(0) = xrn−1
donde rn−1 es un polinomio de grado menor o igual que n − 1. Además, como qn es mónico, rn−1
también lo es. Tenemos entonces,
qn(x) = xrn−1(x) + qn(0) = xqn−1(x) + x(rn−1(x) − qn−1(x)) + qn(0). (6.6)
Pero como rn−1 y qn−1 son mónicos su diferencia resulta un polinomio de grado menor o igual
que n − 2 y por lo tanto, como q0, . . . , qn−1 forman una base de Pn−1, existen coeficientes βj
tales que
n−1
x(rn−1(x) − qn−1(x)) + qn(0) = βjqj(x)
y reemplazando en (6.6) obtenemos
Ahora, para i < n − 2, tenemos
j=0
n−1
qn(x) = xqn−1(x) + βjqj(x). (6.7)
n−2
0 = 〈qn, qi〉 = 〈(x + βn−1)qn−1 + 〈βjqj, qi〉 = 〈xqn−1, qi〉 + βi〈qi, qi〉
j=0
donde en el último paso hemos usado la ortogonalidad de los qj. Pero, como xqi es un polinomio
de grado menor que n − 1, resulta
j=0
〈xqn−1, qi〉 = 〈qn−1, xqi〉 = 0
y en consecuencia βi = 0 para todo i < n−2. Por lo tanto, definiendo an = −βn−1 y bn = −βn−2,
(6.5) se obtiene de (6.7).
Finalmente, usando (6.5) y la ortogonalidad de los qj tenemos,
0 = 〈qn, qn−1〉 = 〈xqn−1, qn−1〉 − an〈qn−1, qn−1〉
de donde se obtiene la expresión para an. Análogamente,
0 = 〈qn, qn−2〉 = 〈xqn−1, qn−2〉 − bn〈qn−2, qn−2〉