Apunte

146 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Entonces, por el teorema del valor medio, existe ξ1 = ξ1(t) tal que
e (3) (t) = − 2
3 t2 f (4) (ξ1)
Observemos que e(0) = 0 y que de las expresiones obtenidas resulta que también e ′ (0) = e ′′ (0) =
0. Por lo tanto, integrando entre 0 y h y usando el Teorema 7.12, obtenemos
e ′′ (h) =
h
0
e (3) (t)dt = − 2
3
h
0
t 2 f (4) (ξ1)dt = − 2
3 f (4) (ξ2)
para algún ξ2 = ξ2(h). Análogamente, existe un ξ3 = ξ3(h) tal que,
e ′ (h) =
h
0
h
e ′′ (t)dt = − 2
36 f (4) (ξ3)h 4
e integrando una vez más, obtenemos que existe un η ∈ [−h, h] tal que
e(h) = − h5
90 f (4) (η).
0
t 2 dt = − 2
9 f (4) (ξ2)h 3
Ahora, en cualquier intervalo [a, b], mediante un cambio de variable, se obtiene
R(f) = − 1
90
b − a
2
5
f (4) (η)
para algún punto intermedio η ∈ (a, b); como queríamos demostrar.
Ejemplo 7.16. Aproximar
1
0
e −x2
que se comete al efectuar dicho cálculo.
Tenemos h = 1
2 , f(x) = e−x2,
así
1
0
e −x2
dx ∼ 1
6
(f(0) + 4f(1
2
dx mediante la regla de Simpson cerrada y estimar el error
1
1
) + f(1)) = (1 + e− 4 + e
6 −1 ) = 0,74951 . . .
Para estimar el error consideramos f iv (x) = 4(4x4 − 12x2 + 3)e−x2. Como R(f) = −h5
90 f (iv) (η)
para algún η ∈ (0, 1), acotamos |f ′′ (x)| para todo x ∈ [0, 1].
Por una parte tenemos que en [0, 1], e−x2 ≤ 1 y por otra parte puede verse que |4x4 − 12x2 + 3|
alcanza su valor máximo en el extremo superior del intervalo. Luego, |4x4 − 12x2 + 3| ≤ 5 en
[0, 1] y por lo tanto
|R(f)| ≤ 1
1
5 20 = 0,006944 . . .
90 2