Apunte

156 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Corolario 7.26. Sea Qn(f) = n
j=0 Ajf(xj) una fórmula de cuadratura gaussiana, entonces
Aj > 0 para todo j = 0, . . . , n.
Demostración. Consideremos los polinomios de la base de Lagrange. Cada ℓk, k = 0, . . . , n
verifica que (ℓk) 2 ∈ P2n y entonces I(ℓ 2 k ) = Qn(ℓ 2 k ). Como ℓk(xj) = δkj,
0 <
b
a
ℓ 2 k (x)w(x) dx =
n
Aj(ℓk(xj)) 2 = Ak.
Ejemplo 7.27. La fórmula de cuadratura gaussiana para peso w(x) = 1 e intervalo [−1, 1]
corresponde a los polinomios ortogonales de Legendre. Se quiere,
1. Hallar la fórmula de tres puntos.
2. Usar las fórmulas de Gauss-Legendre de tres puntos para estimar
j=0
3
1
ln(x) dx.
Para resolver la primer parte, los nodos son las raíces del polinomio ortogonal de grado 3. Para
el peso w(x) = 1, la familia de polinomios ortogonales es {1, x, 1
2 (3x2 − 1), 1
2x(5x2 − 3)}. Los
ceros de p3 coinciden con los de q3(x) = 1
2x(5x2
3
− 3) siendo x0 = − 5 , x1
3
= 0, x2 = 5 .
Los coeficientes {A0, A1, A2} pueden encontrase por el método de coeficientes indeterminados,
teniendo en cuenta la exactitud de la fórmula. Esto es, (n = 2)
1
x
−1
m dx = A0x m 0 + A1x m 1 + A2x m 2 ; para m = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Como se conocen los nodos, al quedar determinado un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3
incógnitas, sólo se usarán las igualdades de arriba para m = 0, 1, 2; las correspondientes a
m = 3, 4, 5; necesariamente van a satisfacerse gracias al Teorema 7.24.
Queda entonces por resolver el sistema
⎛
1
⎜ 3
⎝ − 5
1
0
1
3
5
3
5 0 3
5
de donde resultan A0 = A2 = 5
9 y A1 = 8
9 y
Q(f) = 5
9 f(−
3
5
⎞ ⎛
⎟
⎠
⎝ A0
A1
A2
⎞ ⎛
2
⎞
⎠ = ⎝ ⎠ ,
0 2
3
8 5
) + 9f(0) + 9f(
3
5 ).