Apunte

2. MÉTODOS ITERATIVOS 45
donde ε es positivo y arbitrario. Esto se logra re-escalando la base. Miremos, por ejemplo, el
bloque 1,
⎛
λ1
⎜ 0
J1 = ⎜
⎝
1
λ1
· · ·
· · ·
. ..
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 · · · λ1
en la base v1, . . . , vm. Si T es la transformación lineal asociada a B tenemos
T v1 = λ1v1
T v2 = v1 + λ1v2
T v3 = v2 + λ1v3
.
T vm = vm−1 + λ1vm
Ahora definamos ˜v1 = v1, ˜v2 = εv2, ˜v3 = ε 2 v3,. . . , ˜vm = ε m−1 vm. Tenemos entonces
T ˜v1 = λ1˜v1
T ˜v2 = ε˜v1 + λ1˜v2
T ˜v3 = ε˜v2 + λ1˜v3
.
T ˜vm = ε˜vm−1 + λ1˜vm
Por lo tanto en la base ˜v1, . . . , ˜vm queda el bloque
⎛
λ1 ε · · ·
⎜
˜J1
⎜ 0 λ1 · · ·
= ⎜
⎝
. ..
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 · · · λ1
Hecho esto, definamos la norma de la siguiente manera, dado x lo escribimos en la base ˜vi,
y definimos
es decir la norma ∞ en esa base.
Entonces, es fácil ver que,
x = αi˜vi
x = máx |αi|
A = ρ(A) + ε
pues A es el máximo de
j |aij| si A es la norma asociada a x.
Corolario 3.5.
B k → 0 si y sólo si ρ(B) < 1.