Apunte

Por otra parte la expresión (8.16) es de la forma
de donde se sigue que
En general se tiene:
2. ANÁLISIS DEL ERROR Y CONVERGENCIA 179
x(t + h) = x(t) + hf(t, x(t)) + hτ,
τ = h
2 x′′ (ξ). (8.17)
Proposición 8.8. El error de truncamiento local del método de Taylor de orden k está dado
por
τ =
hk
(k + 1)! x(k+1) (ξ), para algún ξ ∈ (t, t + h). (8.18)
En consecuencia, este método es efectivamente un método de orden k de acuerdo con la Definición
8.7.
Demostración. Se sigue de la Definición 8.6 y de la fórmula del resto para el desarrollo de Taylor
dada en (8.6).
Análogamente se obtiene el siguiente resultado para los métodos de Runge-Kutta.
Proposición 8.9. El error de truncamiento local de un método de de Runge-Kutta de orden k
verifica
τ = O(h k ).
Demostración. Se sigue de la igualdad (8.13), es decir, Tk(t, x(t), h) − Φk(t, x(t), h) = O(h k ) y
del error de truncamiento local de los métodos de Taylor, visto en la proposición anterior.
2.2. Error global. Si x(t) es la solución de la ecuación
x ′ (t) = f(t, x(t))
x(t0) = x0.
estudiaremos, para T > t0, cómo estimar el error que se comete al aproximar el valor de x(T )
utilizando métodos de un paso. En particular, veremos cómo depende este error del paso h.
Elegimos n ∈ IN y t1, . . . , tn puntos equiespaciados, ti = t0 + ih, i = 1, . . . , n, con h = (T − t0)/n
de manera tal que tn = T .
Teorema 8.10. Para n ∈ IN y h = (T − t0)/n consideremos el método de un paso dado por
xi+1 = xi + hΦ(ti, xi, h),
con Φ una función Lipschitz en la segunda variable, o sea, existe una constante K independiente
de t y h tal que
|Φ(t, x, h) − Φ(t, y, h)| ≤ K|x − y|, (8.19)