Apunte

5. INTERPOLACIÓN DE HERMITE 105
p(x1) = a0 + ha1 + h 2 a2 = f(x0) + f ′ (x0)h + a2h 2
Para que se satisfaga la condición (iii) debe ser
a2 = f(x1) − f(x0) − f ′ (x0)h
h 2
f(x1) − f(x0)
=
h
− f ′
1
(x0)
h .
Observemos que límx1→x0 f[x0, x1] = f ′ (x0) por lo que resulta natural generalizar la primer
diferencia dividida poniendo
f[x0, x0] = f ′ (x0).
De esta manera se obtiene, de la definición de segunda diferencia dividida,
f[x0, x0, x1] = f[x0, x1] − f[x0, x0]
x1 − x0
y por lo tanto, a2 = f[x0, x0, x1].
f(x1) − f(x0)
=
h
− f ′
1
(x0)
h
Por último, queremos que p ′ (x1) = f ′ (x1). Entonces, debemos elegir a3 para que se cumpla
de dónde,
O sea
f ′ (x1) = a1 + 2a2h + a3h 2 = f ′ (x0) + 2f[x0, x0, x1]h + a3h 2
a3 = 1
h2 ′
f (x1) − f ′ (x0) − 2f[x0, x0, x1]h
= 1
h 2 (f[x1, x1] − f[x0, x0] − 2f[x0, x0, x1]h)
= 1
h 2 (f[x1, x1] − f[x0, x1] + f[x0, x1] − f[x0, x0] − 2f[x0, x0, x1]h)
= 1
h (f[x0, x1, x1] + f[x0, x0, x1] − 2f[x0, x0, x1])
= f[x0, x1, x1] − f[x0, x0, x1]
.
x1 − x0
a3 = f[x0, x0, x1, x1].