Apunte

1. MÉTODOS DIRECTOS 37
Teorema 3.1. Si no hace falta intercambiar filas en la eliminación de Gauss se obtiene
A = LU
donde U es triangular superior y L es triangular inferior con 1 en la diagonal.
Además tenemos el siguiente corolario.
Corolario 3.2.
det(A) = det(U).
En el caso general, si hace falta cambiar filas, se tiene
con P una matriz de permutaciones.
P A = LU
1.2. Descomposición de Cholesky. En el caso en que A ∈ IR N×N es definida positiva y
simétrica una descomposición L−U (con U = L T ) puede obtenerse más eficientemente mediante
el método de Cholesky.
Definición 3.3. A ∈ IR N×N se dice definida positiva si
〈x, Ax〉 > 0 ∀x = 0
Observemos que si A = LL T con L una matriz inversible, entonces
1. A es simétrica.
2. A es definida positiva pues 〈x, Ax〉 = LT x2 2 > 0, ∀x = 0.
En consecuencia, para que A pueda escribirse como LL T con L inversible es necesario que A sea
simétrica y definida positiva.
Ahora, para lograr una descomposición de la forma LL T , analicemos primero el caso simple,
A ∈ IR 3×3 . Planteamos A = LL T y nos queda
A =
⎛
⎝ l11 0 0
l21 l22 0
l31 l32 l33
Entonces, despejando los coeficientes, se obtiene
etc.
a11 = l 2 11
a12 = l11l21
⎞ ⎛
⎠
⎝ l11 l21 l31
0 l22 l32
0 0 l33
l11 = √ a11
l21 = a12
l11
⎞
⎠