Apunte

Definamos ahora las diferencias.
Primera diferencia :
Segunda diferencia :
5. MÉTODO DE LA SECANTE 81
f[a, b] =
f[a, b, c] =
f(b) − f(a)
b − a
f(c)−f(b)
c−b
Entonces el error del método de la secante verifica,
Lema 4.17.
Demostración.
= f ′ (ξ).
f(b)−f(a)
− b−a
.
c − a
f[xn−1, r, xn]
en+1 = −enen−1
f[xn−1, xn] .
f[a, b, c] = 1
2 f ′′ (η).
f(x) = f(a) + f[a, b](x − a) + f[a, b, c](x − a)(x − b) + Resto.
Despreciamos el resto y nos quedamos con el polinomio de grado 2:
f(a) + f[a, b](x − a) + f[a, b, c](x − a)(x − b)
Se verá más adelante que este polinomio es el polinomio interpolador de grado dos.
Sea
g(x) = f(x) − f(a) + f[a, b](x − a) + f[a, b, c](x − a)(x − b) (4.8)
g cumple que g(a) = 0, g(b) = 0 y g(c) = 0.
Entonces g ′ se anula en por lo menos dos puntos y de ahí que existe η con g ′′ (η) = 0. Ahora,
derivando dos veces la expresión (4.8) y evaluando en η se obtiene
es decir,
0 = g ′′ (η) = f ′′ (η) − 2f[a, b, c],