Apunte

152 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Ejemplo 7.22. Para f : IR 2 → IR una función continua y D = [0, 1] × [0, 1], se define la función
F (x) =
1
0
f(x, y) dy y luego
Se aproximan los valores F (0), F ( 1),
F (1) con la regla de Simpson.
Se aproxima
1
0
2
F (x) dx usando otra vez la misma regla.
El valor de F (0) es el valor de la integral 1
0 g(y) dy con g(y) = f(0, y), luego aplicando la regla
de Simpson simple cerrada tenemos
F (0) ∼ 1
6 f(0, 0) + 4f(0, 1
2 ) + f(0, 1)
Análogamente se obtiene los otros dos valores:
F ( 1
1
2 ) ∼ 6 f( 1
1
2 , 0) + 4f(1 2 , 2 ) + f(1 2 , 1)
F (1) ∼ 1
6 f(1, 0) + 4f(1, 1
2 ) + f(1, 1)
Ahora,
1
0
F (x) dx ∼ 1
6
F (0) + 4F ( 1
2
) + F (1) ,
donde cada valor F (0), F ( 1
2 ) y F (1) se reemplazan por los valores aproximados ya calculados.
En la forma explícita de esta regla aparecen los 9 nodos:
(0, 0), ( 1
1 1 1
, 0), (1, 0), (0, ), (1 , ), (1, ), (0, 1), (1 , 1), (1, 1)
2 2 2 2 2 2
para los cuales se debe calcular el valor de f(x, y).
4. Cuadratura Gaussiana
Según vimos en las secciones anteriores, la precisión de una regla de cuadratura depende de
su grado de exactitud. En consecuencia resulta natural plantearse el problema de cómo elegir
los puntos para optimizar el grado de exactitud. Es decir, fijada la cantidad de puntos, n + 1,
queremos encontrar {x0, x1, . . . , xn} de tal forma que la regla construída interpolando en esos
puntos tenga el mayor grado de exactitud posible. Este problema fue estudiado y resuelto por
Gauss por lo que una regla de este tipo se conoce como cuadratura gaussiana.
Observemos que si consideramos una regla de la forma
b
a
f(x)w(x)dx ∼ Q(f) =
n
Ajf(xj)
donde podamos elegir tanto los pesos {A0, A1, . . . , An} como los nodos {x0, x1, . . . , xn}, tendremos
2n + 2 variables a determinar. Parece entonces natural pedir que la regla sea exacta
j=0