Apunte

3. FORMA DE NEWTON 95
f[x0, . . . , xk] = f[x1, . . . , xk] − f[x0, . . . , xk−1]
.
xk − x0
La construcción de la forma de Newton se basa en la siguiente idea. Una vez obtenido pk ∈ Pk
que interpola a f en x0, . . . , xk escribimos pk+1 ∈ Pk+1 como
pk+1(x) = pk(x) + ak+1(x − x0) · · · (x − xk).
Observemos que como el término agregado no modifica el valor de pk en x0, . . . , xk, pk+1 también
interpola a f en esos puntos independientemente del valor de ak+1. Por otra parte, podemos
elegir
de modo que pk+1(xk+1) = f(xk+1).
f(xk+1) − pk(xk+1)
ak+1 =
(xk+1 − x0) · · · (xk+1 − xk)
Iterando este procedimiento desde k = 1 hasta k = n − 1 se obtiene la forma de Newton
pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)(x − x1) + . . . + an(x − x0) · · · (x − xn−1)
En lo que sigue veremos que los aj resultan ser las diferencias divididas y por lo tanto esta
expresión es análoga al polinomio de Taylor.
Por ejemplo si n = 1,
y como
tenemos
Si n = 2,
p1(x) = a0 + a1(x − x0)
p1(x0) = f(x0) p1(x1) = f(x1)
a0 = f(x0) a1 = f[x0, x1].
p2(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)(x − x1).
Como en el caso n = 1, de las igualdades p1(x0) = f(x0) y p1(x1) = f(x1) queda