Apunte

Capítulo 6
Polinomios ortogonales y aproximación por cuadrados mínimos
En el capítulo anterior hemos discutido cómo aproximar una función por polinomios que interpolan
a la función misma y/o a sus derivadas en algunos puntos. Hasta ahora, los métodos
analizados nos permiten construir polinomios de grado n a partir de n + 1 datos. Cierto es que,
en un problema a modelizar, cuantos más datos se conocen es de esperar que se pueda lograr
mayor precisión. Pero, como vimos, muchas veces polinomios de alto grado producen efectos no
deseados como por ejemplo grandes oscilaciones. En este capítulo consideraremos otra forma de
aproximar funciones conocida como el método de cuadrados mínimos. Este método nos permitirá,
cuando se trate de aproximar por polinomios, contemplar una tabla de valores sin sujetar
el grado del polinomio a la cantidad de datos. También será posible considerar funciones más
generales que ajusten de manera natural los valores predeterminados.
En general, en esta clase de problemas uno sabe a priori a qué tipo de función corresponden
los datos. Una situación frecuente es la de aproximar una tabla de más de dos valores por una
recta (como muestra la Figura 6.1). Es decir, se tienen valores (xi, yi), i = 0, . . . , n y se quiere
encontrar una recta que ajuste estos datos lo mejor posible. Si escribimos la ecuación de la recta
como y = mx + b nuestro problema consiste en encontrar valores de m y b que hagan que el
error |yi − (mxi + b)| sea lo mas chico posible para todo i. Por ejemplo, una manera de lograr
esto sería pedir que m y b minimicen
o también podríamos pedir que minimicen
n
|yi − (mxi + b)| o
i=0
máx
0≤i≤n |yi − (mxi + b)|
n
|yi − (mxi + b)| 2 .
De todas estas opciones es usual considerar la última, llamada “aproximación por cuadrados
mínimos”, debido a que es la más simple ya que el problema se reduce a resolver ecuaciones
lineales.
En este capítulo estudiaremos distintos métodos para resolver éste y otros problemas. Como
en general los valores de yi corresponden a datos de una función f, podemos plantear estos
problemas en el contexto de aproximación de funciones. Dada una función f consideramos:
i=0